Problèmes inverses

Une formulation abstraite du problème consiste à dire que nous avons un système physique A qui transforme la répartition de la densité f de l'objet en des mesures g. Nous considérons maintenant f comme une fonction:

qui à chaque position associe la densité . De même nous définissons g :

qui à chaque direction entre l'objet-axe de la mesure, et la position y du détecteur, associe la mesure . L'opérateur A décrit le système physique qui sert de modèle à l'absorption des rayon x à travers l'objet (il s'agit dans notre cas de la transformation de Radon).

avec la fonction de Dirac. Comme nous connaissons A, et que la donnée de g est fournie par les mesures, il nous reste à trouver f tel que:

Un tel problème est appelé problème inverse; il consiste à partir de données indirectes de l'objet, d'en déterminer les propriétés physiques. Le problème direct correspondant est: calcul à partir de la répartition de la densité f, des mesures associées g:

Dans de nombreuses applications, comme par exemple avec la Tomographie par ordinateur, A peut être interprété comme une application linéaire entre l'espace des fonctions. Cette fonction a comme propriété, dans le cas des problèmes inverses, que son inverse est en général discontinue. Dans la pratique, cela signifie que la solution

ne peut pas être déterminé de facon stable.

A coté des méthodes classiques de régularisation nous pouvons ici utiliser une méthode d'inversion approché. Cette méthode de l'inversion approchée est un nouveau concept théorique, avec lequel nous pouvons résoudre ce problème inverse et bien d'autre du même type que nous pouvons rencontrer.

Exemple pour l'utilisation de méthodes d'inversion

Contrôle des marques de collage de soupape dans la construction automobile
Inspection des dépôts sur des catalyseurs
Reconnaissance de défauts dans les cordons de soudure